2016年理科数学期末试题

　　期末将至，大家都复习好了吗?以下是小编为大家整理关于高中的理科数学期末复习试题和答案，欢迎大家参阅!

　　2016年理科数学期末试题

　　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.

　　(1)函数 的定义域为

　　(a)[一5，2] (b)(一∞，—5]u[2，+oo)

　　(c)[一5,+ ∞) (d)[2,+ ∞)

　　(2)函数 的最小正周期为

　　(a) 2 (b)

　　(c) (d)4

　　(3)"k<9’’是“方程 表示双曲线”的

　　(a)充分不必要条件 (b)必要不充分条件

　　(c)充要条件 (d)既不充分也不必要条件

　　(4)设变量x、y满足 则目标函数z=2x+3y的最小值为

　　(a)7 (b) 8 (c) 22 (d) 23

　　(5)在等比数列{an}中，a2a3a7=8,则a4=

　　(a)1 (b) 4 (c)2 (d)

　　(6)己知 则

　　(a)-4 (b-2 (c)-1 (d)-3

　　(7)抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是

　　(a) (b) (c) (d)

　　(8)己知 的值域为r，那么a的取值范围是

　　(a)(一∞，一1] (b)(一l， ) (c)[-1， ) (d)(0， )

　　(9)执行如图所示的算法，则输出的结果是

　　(a)1 (b) (c) (d)2

　　(10)右上图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于

　　(a) (b) (c)1 (d)

　　(11)椭圆 的左焦点为f，若f关于直线 的对称点a是椭圆c上的点，则椭圆c的离心率为

　　(a) (b) (c) ， (d) 一l

　　(12)设函数 ，若对于任意x [一1，1]都有 ≥0，则实数a的取值范围为

　　(a)(- , 2] (b)[0+ ) (c)[0,2] (d)[1,2]

　　二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上.

　　(13)若复数z满足z=i(2+z)(i为虚数单位)，则z= 。

　　(14)设等差数列{an}的前n项和为sn， s3 =6，s4=12，则s6= .

　　(15) 过点a(3,1)的直线 与圆c: 相切于点b，则 .

　　(16) 在三棱锥p-abc中，pb=6，ac=3，g为△pac的重心，过点g作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线pb和ac，则截面的周长为 .

　　三、解答题：本大题共70分，其中(17) - (21)题为必考题，(22)，(23)，(24)题为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

　　(17)(本小题满分12分)

　　在△abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且csinb=bcos c=3.

　　(i)求b;

　　( ii)若△abc的面积为 ，求c.

　　(18)(本小题满分12分)

　　如图，四棱锥p-abcd的底面abcd是平行四边形，pa⊥底面abcd，∠pcd=90°，

　　pa =ab=ac.

　　(i)求证：ac⊥cd;

　　( ii)点e在棱pc的中点，求点b到平面ead的距离.

　　(19)(本小题满分12分)

　　为了调查某校学生体质健康达标情况，现采

　　用随机抽样的方法从该校抽取了m名学生进行体

　　育测试.根据体育测试得到了这m名学生各项平

　　均成绩(满分100分)，按照以下区间分为七组：

　　[30,40), [40, 50), [50, 60), [60, 70),[70,

　　80)，[80，90)，[90，100)，并得到频率分布直方

　　图(如图)，己知测试平均成绩在区间[30，60)有

　　20人.

　　(i)求m的值及中位数n;

　　(ii)若该校学生测试平均成绩小于n，则

　　学校应适当增加体育活动时间.根据以上抽样调

　　查数据，该校是否需要增加体育活动时间?

　　(20)(本小题满分12分)

　　已知抛物线y2= 2px(p>0)，过点c(一2，0)的直线 交抛物线于a，b两点，坐标原点为o， .

　　(i)求抛物线的方程;

　　( ii)当以ab为直径的圆与y轴相切时，求直线 的方程.

　　(21)(本小题满分12分)

　　己知函数 ，直线 与曲线 切于点 且与

　　曲线 y=g(x)切于点 .

　　(i)求a，b的值和直线 的方程.

　　( ii)证明：除切点外，曲线c1,c2位于直线 的两侧。

　　请考生在第(22)，(23)，(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时

　　用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

　　(22)(本小题满分1 0分)选修4-1：几何证明选讲

　　如图，四边形么bdc内接于圆，bd= cd，过c点的圆的切线与ab的延长线交于e点.

　　(i)求证：∠eac=2∠dce;

　　( ii)若bd⊥ab，bc=be，ae=2，求ab的长.

　　(23)(本小题满分10)选修4—4;坐标系与参数方程

　　极坐标系的极点为直角坐标系xoy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线c的极坐标方程为 ，斜率为 的直线 交y轴于点e(0,1).

　　(i)求c的直角坐标方程， 的参数方程;

　　( ii)直线 与曲线c交于a、b两点，求|ea|+|eb |。

　　(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

　　设函数 的最小值为a.

　　(i)求a;

　　( ii)已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求 的最小值.
 

　　2016年理科数学期末试题答案

　　一、 选择题：

　　a卷：dabac abcab dc

　　b卷：daadc bbcda cc

　　二、填空题：

　　(13)-1+i (14)30 (15)5 (16)8

　　三、解答题：

　　(17)解：

　　(ⅰ)由正弦定理得sincsinb=sinbcosc，

　　又sinb≠0，所以sinc=cosc，c=45°.

　　因为bcosc=3，所以b=32. …6分

　　(ⅱ)因为s=12acsinb=212，csinb=3，所以a=7.

　　据余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosc=25，所以c=5. …12分

　　(18)解：

　　(ⅰ)证明：

　　因为pa⊥底面abcd，所以pa⊥cd，

　　因为∠pcd=90，所以pc⊥cd，

　　所以cd⊥平面pac，

　　所以cd⊥ac. …4分

　　(ⅱ)因为pa=ab=ac=2，e为pc的中点，所以ae⊥pc，ae=2.

　　由(ⅰ)知ae⊥cd，所以ae⊥平面pcd.

　　作cf⊥de，交de于点f，则cf⊥ae，则cf⊥平面ead.

　　因为bc∥ad，所以点b与点c到平面ead的距离相等，

　　cf即为点c到平面ead的距离. …8分

　　在rt△ecd中，cf=ce×cdde=2×26=233.

　　所以，点b到平面ead的距离为233. …12分

　　(19)解：

　　(ⅰ)由频率分布直方图知第1组，第2组和第3组的频率分别是0.02，0.02和0.06，

　　则m×(0.02+0.02+0.06)=20，解得m=200.

　　由直方图可知，中位数n位于[70，80)，则

　　0.02+0.02+0.06+0.22+0.04(n-70)=0.5，解得n=74.5. …4分

　　(ⅱ)设第i组的频率和频数分别为pi和xi，由图知，

　　p1=0.02，p2=0.02，p3=0.06，p4=0.22，p5=0.40，p6=0.18，p7=0.10，

　　则由xi=200×pi，可得

　　x1=4，x2=4，x3=12，x4=44，x5=80，x6=36，x7=20， …8分

　　故该校学生测试平均成绩是

　　—x=35x1+45x2+55x3+65x4+75x5+85x6+95x7200=74<74.5， …11分

　　所以学校应该适当增加体育活动时间. …12分

　　(20)解： (ⅰ)设l：x=my-2，代入y2=2px，得y2-2pmy+4p=0.()

　　设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1+y2=2pm，y1y2=4p，则x1x2=y21y224p2=4.

　　因为oa→•ob→=12，所以x1x2+y1y2=12，即4+4p=12，

　　得p=2，抛物线的方程为y2=4x. …5分

　　(ⅱ)由(ⅰ)()化为y2-4my+8=0.

　　y1+y2=4m，y1y2=8. …6分

　　设ab的中点为m，则|ab|=2xm=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4， ①

　　又|ab|=1+m2| y1-y2|=(1+m2)(16m2-32)， ②

　　由①②得(1+m2)(16m2-32) =(4m2-4)2，

　　解得m2=3，m=±3.

　　所以，直线l的方程为x+3y+2=0，或x-3y+2=0. …12分

　　(21)解：

　　(ⅰ)f(x)=aex+2x，g(x)=cosx+b，

　　f(0)=a，f(0)=a，g(  2)=1+  2b，g(  2)=b，

　　曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线为y=ax+a，

　　曲线y=g(x)在点(  2，g(  2))处的切线为

　　y=b(x-  2)+1+  2b，即y=bx+1.

　　依题意，有a=b=1，直线l方程为y=x+1. …4分

　　(ⅱ)由(ⅰ)知f(x)=ex+x2，g(x)=sinx+x. …5分

　　设f(x)=f(x)-(x+1)=ex+x2-x-1，则f(x)=ex+2x-1，

　　当x∈(-∞，0)时，f(x)

　　当x∈(0，+∞)时，f(x)>f(0)=0.

　　f(x)在(-∞，0)单调递减，在(0，+∞)单调递增，

　　故f(x)≥f(0)=0. …8分

　　设g(x)=x+1-g(x)=1-sinx，则g(x)≥0，

　　当且仅当x=2k+  2(k∈z)时等号成立. …10分

　　综上可知，f(x)≥x+1≥g(x)，且两个等号不同时成立，因此f(x)>g(x).

　　所以：除切点外，曲线c1，c2位于直线l的两侧. …12分

　　(22)解：

　　(ⅰ)证明：因为bd=cd，所以∠bcd=∠cbd.

　　因为ce是圆的切线，所以∠ecd=∠cbd.

　　所以∠ecd=∠bcd，所以∠bce=2∠ecd.

　　因为∠eac=∠bce，所以∠eac=2∠ecd. …5分

　　(ⅱ)解：因为bd⊥ab，所以ac⊥cd，ac=ab.

　　因为bc=be，所以∠bec=∠bce=∠eac，所以ac=ec.

　　由切割线定理得ec2=ae•be，即ab2=ae•( ae-ab)，即

　　ab2+2 ab-4=0，解得ab=5-1. …10分

　　(23)解：

　　(ⅰ)由ρ=2(cosθ+sinθ)，得ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ)，

　　即x2+y2=2x+2y，即(x-1) 2+(y-1) 2=2.

　　l的参数方程为x= 1 2t，y=1+32t.(t为参数, t∈r) …5分

　　(ⅱ)将x= 1 2t，y=1+32t.代入(x-1) 2+(y-1) 2=2得t2-t-1=0，

　　解得，t1=1+52，t2=1-52，则

　　|ea|+|eb|=| t1|+| t2|=|t1-t2|=5. …10分

　　(24)解：

　　(ⅰ)f(x)=- 3 2x-1 ，x<-2，- 1 2x+1，-2≤x≤0， 3 2x+1，x>0.

　　当x∈(-∞，0]时，f(x)单调递减，

　　当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，

　　所以当x=0时，f(x)的最小值a=1. …5分

　　(ⅱ)由(ⅰ)知m2+n2=1，由m2+n2≥2mn，得mn≤ 1 2，

　　则 1 m+ 1 n≥21mn≥22，当且仅当m=n=22时取等号.

　　所以 1 m+ 1 n的最小值为22. …10分