2016年理科数学期末试题
期末将至,大家都复习好了吗?以下是小编为大家整理关于高中的理科数学期末复习试题和答案,欢迎大家参阅!
2016年理科数学期末试题
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.
(1)函数 的定义域为
(a)[一5,2] (b)(一∞,—5]u[2,+oo)
(c)[一5,+ ∞) (d)[2,+ ∞)
(2)函数 的最小正周期为
(a) 2 (b)
(c) (d)4
(3)"k<9’’是“方程 表示双曲线”的
(a)充分不必要条件 (b)必要不充分条件
(c)充要条件 (d)既不充分也不必要条件
(4)设变量x、y满足 则目标函数z=2x+3y的最小值为
(a)7 (b) 8 (c) 22 (d) 23
(5)在等比数列{an}中,a2a3a7=8,则a4=
(a)1 (b) 4 (c)2 (d)
(6)己知 则
(a)-4 (b-2 (c)-1 (d)-3
(7)抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之差的绝对值为3的概率是
(a) (b) (c) (d)
(8)己知 的值域为r,那么a的取值范围是
(a)(一∞,一1] (b)(一l, ) (c)[-1, ) (d)(0, )
(9)执行如图所示的算法,则输出的结果是
(a)1 (b) (c) (d)2
(10)右上图是某几何体的三视图,则该几何体的体积等于
(a) (b) (c)1 (d)
(11)椭圆 的左焦点为f,若f关于直线 的对称点a是椭圆c上的点,则椭圆c的离心率为
(a) (b) (c) , (d) 一l
(12)设函数 ,若对于任意x [一1,1]都有 ≥0,则实数a的取值范围为
(a)(- , 2] (b)[0+ ) (c)[0,2] (d)[1,2]
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在题中横线上.
(13)若复数z满足z=i(2+z)(i为虚数单位),则z= 。
(14)设等差数列{an}的前n项和为sn, s3 =6,s4=12,则s6= .
(15) 过点a(3,1)的直线 与圆c: 相切于点b,则 .
(16) 在三棱锥p-abc中,pb=6,ac=3,g为△pac的重心,过点g作三棱锥的一个截面,使截面平行于直线pb和ac,则截面的周长为 .
三、解答题:本大题共70分,其中(17) - (21)题为必考题,(22),(23),(24)题为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
在△abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且csinb=bcos c=3.
(i)求b;
( ii)若△abc的面积为 ,求c.
(18)(本小题满分12分)
如图,四棱锥p-abcd的底面abcd是平行四边形,pa⊥底面abcd,∠pcd=90°,
pa =ab=ac.
(i)求证:ac⊥cd;
( ii)点e在棱pc的中点,求点b到平面ead的距离.
(19)(本小题满分12分)
为了调查某校学生体质健康达标情况,现采
用随机抽样的方法从该校抽取了m名学生进行体
育测试.根据体育测试得到了这m名学生各项平
均成绩(满分100分),按照以下区间分为七组:
[30,40), [40, 50), [50, 60), [60, 70),[70,
80),[80,90),[90,100),并得到频率分布直方
图(如图),己知测试平均成绩在区间[30,60)有
20人.
(i)求m的值及中位数n;
(ii)若该校学生测试平均成绩小于n,则
学校应适当增加体育活动时间.根据以上抽样调
查数据,该校是否需要增加体育活动时间?
(20)(本小题满分12分)
已知抛物线y2= 2px(p>0),过点c(一2,0)的直线 交抛物线于a,b两点,坐标原点为o, .
(i)求抛物线的方程;
( ii)当以ab为直径的圆与y轴相切时,求直线 的方程.
(21)(本小题满分12分)
己知函数 ,直线 与曲线 切于点 且与
曲线 y=g(x)切于点 .
(i)求a,b的值和直线 的方程.
( ii)证明:除切点外,曲线c1,c2位于直线 的两侧。
请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时
用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
(22)(本小题满分1 0分)选修4-1:几何证明选讲
如图,四边形么bdc内接于圆,bd= cd,过c点的圆的切线与ab的延长线交于e点.
(i)求证:∠eac=2∠dce;
( ii)若bd⊥ab,bc=be,ae=2,求ab的长.
(23)(本小题满分10)选修4—4;坐标系与参数方程
极坐标系的极点为直角坐标系xoy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线c的极坐标方程为 ,斜率为 的直线 交y轴于点e(0,1).
(i)求c的直角坐标方程, 的参数方程;
( ii)直线 与曲线c交于a、b两点,求|ea|+|eb |。
(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数 的最小值为a.
(i)求a;
( ii)已知两个正数m,n满足m2+n2=a,求 的最小值.
2016年理科数学期末试题答案
一、 选择题:
a卷:dabac abcab dc
b卷:daadc bbcda cc
二、填空题:
(13)-1+i (14)30 (15)5 (16)8
三、解答题:
(17)解:
(ⅰ)由正弦定理得sincsinb=sinbcosc,
又sinb≠0,所以sinc=cosc,c=45°.
因为bcosc=3,所以b=32. …6分
(ⅱ)因为s=12acsinb=212,csinb=3,所以a=7.
据余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosc=25,所以c=5. …12分
(18)解:
(ⅰ)证明:
因为pa⊥底面abcd,所以pa⊥cd,
因为∠pcd=90,所以pc⊥cd,
所以cd⊥平面pac,
所以cd⊥ac. …4分
(ⅱ)因为pa=ab=ac=2,e为pc的中点,所以ae⊥pc,ae=2.
由(ⅰ)知ae⊥cd,所以ae⊥平面pcd.
作cf⊥de,交de于点f,则cf⊥ae,则cf⊥平面ead.
因为bc∥ad,所以点b与点c到平面ead的距离相等,
cf即为点c到平面ead的距离. …8分
在rt△ecd中,cf=ce×cdde=2×26=233.
所以,点b到平面ead的距离为233. …12分
(19)解:
(ⅰ)由频率分布直方图知第1组,第2组和第3组的频率分别是0.02,0.02和0.06,
则m×(0.02+0.02+0.06)=20,解得m=200.
由直方图可知,中位数n位于[70,80),则
0.02+0.02+0.06+0.22+0.04(n-70)=0.5,解得n=74.5. …4分
(ⅱ)设第i组的频率和频数分别为pi和xi,由图知,
p1=0.02,p2=0.02,p3=0.06,p4=0.22,p5=0.40,p6=0.18,p7=0.10,
则由xi=200×pi,可得
x1=4,x2=4,x3=12,x4=44,x5=80,x6=36,x7=20, …8分
故该校学生测试平均成绩是
—x=35x1+45x2+55x3+65x4+75x5+85x6+95x7200=74<74.5, …11分
所以学校应该适当增加体育活动时间. …12分
(20)解: (ⅰ)设l:x=my-2,代入y2=2px,得y2-2pmy+4p=0.()
设a(x1,y1),b(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=4p,则x1x2=y21y224p2=4.
因为oa→•ob→=12,所以x1x2+y1y2=12,即4+4p=12,
得p=2,抛物线的方程为y2=4x. …5分
(ⅱ)由(ⅰ)()化为y2-4my+8=0.
y1+y2=4m,y1y2=8. …6分
设ab的中点为m,则|ab|=2xm=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4, ①
又|ab|=1+m2| y1-y2|=(1+m2)(16m2-32), ②
由①②得(1+m2)(16m2-32) =(4m2-4)2,
解得m2=3,m=±3.
所以,直线l的方程为x+3y+2=0,或x-3y+2=0. …12分
(21)解:
(ⅰ)f(x)=aex+2x,g(x)=cosx+b,
f(0)=a,f(0)=a,g( 2)=1+ 2b,g( 2)=b,
曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线为y=ax+a,
曲线y=g(x)在点( 2,g( 2))处的切线为
y=b(x- 2)+1+ 2b,即y=bx+1.
依题意,有a=b=1,直线l方程为y=x+1. …4分
(ⅱ)由(ⅰ)知f(x)=ex+x2,g(x)=sinx+x. …5分
设f(x)=f(x)-(x+1)=ex+x2-x-1,则f(x)=ex+2x-1,
当x∈(-∞,0)时,f(x)
当x∈(0,+∞)时,f(x)>f(0)=0.
f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增,
故f(x)≥f(0)=0. …8分
设g(x)=x+1-g(x)=1-sinx,则g(x)≥0,
当且仅当x=2k+ 2(k∈z)时等号成立. …10分
综上可知,f(x)≥x+1≥g(x),且两个等号不同时成立,因此f(x)>g(x).
所以:除切点外,曲线c1,c2位于直线l的两侧. …12分
(22)解:
(ⅰ)证明:因为bd=cd,所以∠bcd=∠cbd.
因为ce是圆的切线,所以∠ecd=∠cbd.
所以∠ecd=∠bcd,所以∠bce=2∠ecd.
因为∠eac=∠bce,所以∠eac=2∠ecd. …5分
(ⅱ)解:因为bd⊥ab,所以ac⊥cd,ac=ab.
因为bc=be,所以∠bec=∠bce=∠eac,所以ac=ec.
由切割线定理得ec2=ae•be,即ab2=ae•( ae-ab),即
ab2+2 ab-4=0,解得ab=5-1. …10分
(23)解:
(ⅰ)由ρ=2(cosθ+sinθ),得ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ),
即x2+y2=2x+2y,即(x-1) 2+(y-1) 2=2.
l的参数方程为x= 1 2t,y=1+32t.(t为参数, t∈r) …5分
(ⅱ)将x= 1 2t,y=1+32t.代入(x-1) 2+(y-1) 2=2得t2-t-1=0,
解得,t1=1+52,t2=1-52,则
|ea|+|eb|=| t1|+| t2|=|t1-t2|=5. …10分
(24)解:
(ⅰ)f(x)=- 3 2x-1 ,x<-2,- 1 2x+1,-2≤x≤0, 3 2x+1,x>0.
当x∈(-∞,0]时,f(x)单调递减,
当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,
所以当x=0时,f(x)的最小值a=1. …5分
(ⅱ)由(ⅰ)知m2+n2=1,由m2+n2≥2mn,得mn≤ 1 2,
则 1 m+ 1 n≥21mn≥22,当且仅当m=n=22时取等号.
所以 1 m+ 1 n的最小值为22. …10分
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